La Lógica: Fundamentos y Evolución

¿Qué es la lógica?

La lógica es la disciplina filosófica que estudia los principios del razonamiento válido y la estructura de los argumentos. Su objetivo es distinguir entre razonamientos correctos e incorrectos, analizando cómo las premisas sustentan una conclusión. En su núcleo, la lógica examina la coherencia y consistencia de las ideas, independientemente de su contenido empírico. Se divide en lógica formal, que se centra en la estructura de los argumentos (como silogismos), y lógica informal, que evalúa falacias y argumentos en contextos cotidianos. La lógica deductiva garantiza conclusiones necesarias a partir de premisas verdaderas, mientras que la inductiva generaliza a partir de observaciones. También existen enfoques modernos como la lógica modal, que analiza nociones de posibilidad y necesidad. La lógica es fundamental en filosofía, matemáticas, informática y ciencias, proporcionando herramientas para construir argumentos sólidos y resolver problemas complejos. Un razonamiento lógico se compone de premisas (proposiciones iniciales), una estructura argumentativa (como modus ponens) y una conclusión que se deriva válidamente. Por ejemplo, en el silogismo "Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre; luego, Sócrates es mortal", la conclusión sigue lógicamente de las premisas, demostrando la validez del razonamiento.

Análisis de la estructura de un argumento

Un argumento lógico está formado por premisas y una conclusión. Una premisa es una proposición o enunciado que se asume como verdadero y sirve como base para derivar la conclusión. Las premisas se componen de términos (sujeto y predicado) conectados mediante relaciones lógicas, como afirmaciones categóricas ("Todos los A son B") o condicionales ("Si A, entonces B"). En la lógica clásica, un argumento deductivo típico incluye una premisa mayor, que establece una regla general (p. ej., "Todos los hombres son mortales"); una premisa menor, que aplica esa regla a un caso específico (p. ej., "Sócrates es hombre"); y una conclusión, que se deriva lógicamente (p. ej., "Sócrates es mortal"). La validez del argumento depende de la estructura lógica, no de la verdad empírica de las premisas. Un argumento válido asegura que, si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Esta estructura es fundamental en la lógica aristotélica y se extiende a sistemas modernos, como la lógica proposicional, donde las premisas se conectan mediante operadores lógicos (como "si-entonces"). En la lógica proposicional, las premisas pueden incluir conectivas como "y", "o" o "si-entonces", mientras que en la lógica de predicados se usan cuantificadores ("para todo", "existe").

Tabla silogística: Esquemas lógicos con ejemplos y símbolos

La siguiente tabla presenta los principales esquemas lógicos, sus estructuras formales con símbolos (p, q, ¬p, etc.), ejemplos prácticos y una breve descripción.

Esquema lógico	Estructura formal	Ejemplo	Descripción
Modus Ponens	p → q p ∴ q	Premisa mayor: Si estudias, aprobarás. Premisa menor: Estudias. Conclusión: Aprobarás.	Si p implica q y p es verdadero, entonces q es verdadero. Es una forma básica de deducción proposicional.
Modus Tollens	p → q ¬q ∴ ¬p	Premisa mayor: Si es de día, hay luz. Premisa menor: No hay luz. Conclusión: No es de día.	Si p implica q y q es falso, entonces p es falso. Es una deducción que niega la premisa inicial.
Silogismo categórico	Todos M son P Todos S son M ∴ Todos S son P	Premisa mayor: Todos los pájaros tienen plumas. Premisa menor: Todos los gorriones son pájaros. Conclusión: Todos los gorriones tienen plumas.	Desarrollado por Aristóteles, relaciona categorías (sujeto S, medio M, predicado P) para deducir conclusiones.
Silogismo disyuntivo	p ∨ q ¬p ∴ q	Premisa mayor: O llueve o hace sol. Premisa menor: No llueve. Conclusión: Hace sol.	Basado en una disyunción (p o q), si una opción es falsa, la otra es verdadera.
Silogismo hipotético	p → q q → r ∴ p → r	Premisa mayor: Si estudias, apruebas. Premisa menor: Si apruebas, te gradúas. Conclusión: Si estudias, te gradúas.	Conecta implicaciones en cadena, deduciendo una implicación más amplia.

Guía histórica de la lógica clásica

Aristóteles (384-322 a.C.)

Aristóteles, considerado el padre de la lógica clásica, desarrolló el sistema de lógica silogística en su obra "Órganon". Su enfoque se centra en deducir conclusiones válidas a partir de premisas estructuradas en silogismos categóricos. Introdujo conceptos como términos (sujeto y predicado), proposiciones categóricas (universales o particulares) y las figuras silogísticas, que organizan las relaciones entre premisas. Aristóteles clasificó los silogismos en válidos e inválidos, sentando las bases de la lógica formal. Su método enfatiza la deducción, donde la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión. También exploró nociones de causalidad y definición, influyendo en la filosofía medieval y moderna. Su lógica fue revolucionaria porque sistematizó el razonamiento, permitiendo analizar argumentos de manera estructurada. Aunque limitada frente a la lógica moderna (carece de cuantificadores complejos), su impacto persiste en la educación y la retórica. Aristóteles también abordó falacias, como el error de ambigüedad, sentando precedentes para la lógica informal.

Ejemplo 1: Silogismo categórico

Premisa mayor: Todos los pájaros tienen plumas.
Premisa menor: Todos los gorriones son pájaros.
Conclusión: Todos los gorriones tienen plumas.

Ejemplo 2: Silogismo hipotético

Premisa mayor: Si llueve, el suelo está mojado.
Premisa menor: Llueve.
Conclusión: El suelo está mojado.

Estoicos (siglo III a.C.)

La escuela estoica, liderada por figuras como Crisipo, avanzó la lógica proposicional, complementando la lógica categórica de Aristóteles. Los estoicos se enfocaron en las relaciones entre proposiciones, introduciendo conectivas lógicas como "y", "o" y "si-entonces". Desarrollaron el modus ponens y modus tollens, formas argumentativas que analizan implicaciones. Su lógica era práctica, orientada a guiar el razonamiento ético y la vida virtuosa. Crisipo sistematizó los silogismos hipotéticos, identificando cinco tipos básicos de argumentos válidos. También exploraron paradojas, como la del mentiroso, y conceptos de necesidad y posibilidad, prefigurando la lógica modal. La lógica estoica influyó en la filosofía medieval y en la lógica moderna, especialmente en el cálculo proposicional. Aunque menos estructurada que la aristotélica en términos categóricos, su énfasis en las conexiones lógicas entre proposiciones fue innovador y permitió un análisis más dinámico del razonamiento.

Ejemplo 1: Modus ponens

Premisa mayor: Si estudias, aprobarás el examen.
Premisa menor: Estudias.
Conclusión: Aprobarás el examen.

Ejemplo 2: Modus tollens

Premisa mayor: Si es de día, hay luz solar.
Premisa menor: No hay luz solar.
Conclusión: No es de día.

Gottlob Frege (1848-1925)

Gottlob Frege, pionero de la lógica moderna, revolucionó la disciplina con su obra "Begriffsschrift" (1879), introduciendo el cálculo de predicados. Frege desarrolló un sistema formal que superó las limitaciones de la lógica aristotélica al incorporar cuantificadores ("para todo", "existe") y variables, permitiendo analizar relaciones complejas entre objetos. Su lógica de primer orden formalizó el razonamiento matemático, sentando las bases para la informática y la filosofía analítica. Frege también distinguió entre sentido y referencia, un avance clave en la filosofía del lenguaje. Su enfoque axiomático buscaba reducir las matemáticas a la lógica, aunque su sistema enfrentó problemas con paradojas como la de Russell. A pesar de esto, su trabajo influyó en Wittgenstein, Russell y la lógica contemporánea. Frege transformó la lógica en una ciencia formal, alejándose de la retórica y acercándola a las matemáticas.

Ejemplo 1: Lógica de predicados

Premisa: Para todo x, si x es un mamífero, entonces x es vertebrado.
Premisa: Un delfín es un mamífero.
Conclusión: Un delfín es vertebrado.

Ejemplo 2: Cuantificador existencial

Premisa: Existe un x tal que x es un planeta y x orbita el Sol.
Premisa: Marte es un planeta.
Conclusión: Marte orbita el Sol.

Silogismo categórico vs. silogismo hipotético: Composición y características

El silogismo categórico, desarrollado por Aristóteles, organiza el razonamiento en torno a categorías y sus relaciones de identidad (términos que comparten propiedades), comparación (relaciones entre sujeto y predicado), inclusión (una categoría está contenida en otra, p. ej., "Todos S son P") y exclusión (una categoría no pertenece a otra, p. ej., "Ningún S es P"). Se compone de dos premisas categóricas (mayor: M–P, menor: S–M) y una conclusión (S–P), con términos (sujeto S, predicado P, medio M) conectados en cuatro figuras. Por ejemplo: "Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre; luego, Sócrates es mortal". En cambio, el silogismo hipotético, propio de los estoicos, se basa en proposiciones condicionales ("si-entonces") y se compone de dos premisas con conectivas lógicas (p. ej., p→q, q→r) y una conclusión (p→r). Ejemplo: "Si estudias, apruebas; si apruebas, te gradúas; luego, si estudias, te gradúas". Mientras el categórico analiza relaciones entre clases, el hipotético evalúa implicaciones lógicas, siendo más dinámico y precursor de la lógica proposicional moderna.

Concepto	Descripción	Ejemplo	Tipo de proposición
Inclusión	Una categoría (S) está contenida en otra (P), indicando que todos los elementos de S son también P.	Todos los pájaros son vertebrados. (Premisa mayor en: Todos los gorriones son pájaros; luego, todos los gorriones son vertebrados.)	A (Universal afirmativa)
Exclusión	Una categoría (S) se excluye de otra (P), indicando que ningún elemento de S es P.	Ningún pájaro es mamífero. (Premisa mayor en: Todos los gorriones son pájaros; luego, ningún gorrión es mamífero.)	E (Universal negativa)
Comparación	Compara dos categorías (S y P) mediante un término medio (M) para establecer una relación en la conclusión.	Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre; luego, Sócrates es mortal. (Compara "Sócrates" con "mortal" vía "hombre".)	A (Universal afirmativa) en premisa mayor; I (Particular afirmativa) en conclusión
Identidad	Establece que una categoría (S) comparte una propiedad idéntica con otra (P) a través de un término medio (M).	Todos los gatos son mamíferos; todos los siameses son gatos; luego, todos los siameses son mamíferos. (Propiedad "mamífero" es idéntica en gatos y siameses.)	A (Universal afirmativa)

Estructura y modos válidos de los silogismos categóricos

En un silogismo categórico, los argumentos se componen de tres términos: el término mayor (P), el término menor (S) y el término medio (M). El término mayor es el predicado de la conclusión (p. ej., "mortal" en "Sócrates es mortal"). El término menor es el sujeto de la conclusión (p. ej., "Sócrates"). El término medio conecta las premisas pero no aparece en la conclusión (p. ej., "hombre" en "Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre"). Simbólicamente, un silogismo se estructura como: Premisa mayor (M–P), Premisa menor (S–M), Conclusión (S–P). Las premisas y la conclusión pueden ser universales afirmativas (A: "Todos S son P"), universales negativas (E: "Ningún S es P"), particulares afirmativas (I: "Algún S es P") o particulares negativas (O: "Algún S no es P"). Las cuatro figuras silogísticas dependen del orden de los términos: Figura 1 (M–P, S–M: S–P), Figura 2 (P–M, S–M: S–P), Figura 3 (M–P, M–S: S–P), Figura 4 (P–M, M–S: S–P). La tabla siguiente muestra los modos válidos más comunes.

Figura	Modo	Estructura formal	Ejemplo	Tipo de premisas y conclusión
Figura 1	AAA (Barbara)	Todos M son P Todos S son M ∴ Todos S son P	Premisa mayor: Todos los hombres son mortales. Premisa menor: Todos los griegos son hombres. Conclusión: Todos los griegos son mortales.	Mayor: A (Universal afirmativa) Menor: A (Universal afirmativa) Conclusión: A (Universal afirmativa)
Figura 1	EAE (Celarent)	Ningún M es P Todos S son M ∴ Ningún S es P	Premisa mayor: Ningún pájaro es mamífero. Premisa menor: Todos los gorriones son pájaros. Conclusión: Ningún gorrión es mamífero.	Mayor: E (Universal negativa) Menor: A (Universal afirmativa) Conclusión: E (Universal negativa)
Figura 2	EAE (Cesare)	Ningún P es M Todos S son M ∴ Ningún S es P	Premisa mayor: Ningún mamífero es reptil. Premisa menor: Todos los perros son mamíferos. Conclusión: Ningún perro es reptil.	Mayor: E (Universal negativa) Menor: A (Universal afirmativa) Conclusión: E (Universal negativa)
Figura 2	AEE (Camestres)	Todos P son M Ningún S es M ∴ Ningún S es P	Premisa mayor: Todos los gatos son mamíferos. Premisa menor: Ningún reptil es mamífero. Conclusión: Ningún reptil es gato.	Mayor: A (Universal afirmativa) Menor: E (Universal negativa) Conclusión: E (Universal negativa)
Figura 3	IAI (Disamis)	Algún M es P Todos M son S ∴ Algún S es P	Premisa mayor: Algún estudiante es músico. Premisa menor: Todos los estudiantes son jóvenes. Conclusión: Algún joven es músico.	Mayor: I (Particular afirmativa) Menor: A (Universal afirmativa) Conclusión: I (Particular afirmativa)
Figura 4	IAI (Dimaris)	Algún P es M Todos M son S ∴ Algún S es P	Premisa mayor: Algún atleta es corredor. Premisa menor: Todos los corredores son veloces. Conclusión: Algún veloz es atleta.	Mayor: I (Particular afirmativa) Menor: A (Universal afirmativa) Conclusión: I (Particular afirmativa)

El cuadro de oposiciones: Relaciones lógicas entre proposiciones

El cuadro de oposiciones, desarrollado en la lógica aristotélica, ilustra las relaciones lógicas entre las cuatro proposiciones categóricas: universal afirmativa (A: "Todos S son P"), universal negativa (E: "Ningún S es P"), particular afirmativa (I: "Algún S es P") y particular negativa (O: "Algún S no es P"). Estas relaciones son: contrariedad (A y E no pueden ser ambas verdaderas, pero sí ambas falsas); contradicción (A y O, o E e I, son opuestas: si una es verdadera, la otra es falsa); subcontrariedad (I y O no pueden ser ambas falsas, pero sí ambas verdaderas); y subalternación (de A a I, o de E a O, si la universal es verdadera, la particular lo es). Este cuadro es crucial para analizar la validez de los silogismos y entender cómo las proposiciones interactúan lógicamente. Visualmente, se representa como un cuadrado con A y E en la parte superior, I y O en la inferior, conectadas por líneas que indican estas relaciones.

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Nube de palabras y vocabulario lógico

La siguiente nube de palabras reúne los términos clave de la lógica tratados en esta entrada, destacando su relevancia en el razonamiento. Debajo, se presenta un vocabulario con definiciones claras de cada concepto.

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Vocabulario lógico

Argumento: Conjunto de premisas que conducen a una conclusión mediante razonamiento lógico.
Conclusión: Proposición derivada lógicamente de las premisas en un argumento.
Contradicción: Relación entre dos proposiciones donde una es verdadera si la otra es falsa (p. ej., A y O).
Contrariedad: Relación donde dos proposiciones no pueden ser ambas verdaderas, pero sí ambas falsas (p. ej., A y E).
Exclusión: Relación categórica donde ninguna parte de una categoría pertenece a otra (p. ej., "Ningún S es P").
Identidad: Relación donde dos categorías comparten una propiedad común a través de un término medio.
Inclusión: Relación categórica donde una categoría está contenida en otra (p. ej., "Todos S son P").
Juicio: Acto mental que afirma o niega una relación entre dos términos, expresado en una proposición.
Premisa: Proposición inicial que sirve de base para derivar una conclusión en un argumento.
Proposición: Enunciado que puede ser verdadero o falso, base de los silogismos (p. ej., A, E, I, O).
Silogismo: Razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión, categórico o hipotético.
Subalternación: Relación donde la verdad de una proposición universal implica la de su particular (p. ej., A a I).
Subcontrariedad: Relación donde dos proposiciones no pueden ser ambas falsas, pero sí ambas verdaderas (p. ej., I y O).
Término: Concepto (sujeto o predicado) que forma parte de una proposición (p. ej., S, P, M).

Referencias

Aristóteles. (2014). Órganon (J. L. Calvo Martínez, Trad.). Alianza Editorial. (Obra original publicada ca. 350 a.C.)
Copi, I. M., Cohen, C., & McMahon, K. (2016). Introduction to logic (14.ª ed.). Routledge.
Frege, G. (1967). Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought (J. van Heijenoort, Trad.). En J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931 (pp. 1-82). Harvard University Press. (Obra original publicada en 1879)
Honderich, T. (Ed.). (2005). The Oxford companion to philosophy (2.ª ed.). Oxford University Press.
Smith, R. (2020). Aristotle’s logic. En E. N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Recuperado de https://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/
Zalta, E. N. (Ed.). (2023). Chrysippus. En The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Recuperado de https://plato.stanford.edu/entries/chrysippus/